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如图.在Rt△ABC中.∠C=90°.AC=BC.AB=8.点D为AB的中点.若直角MDN绕点D旋转.分别交AC于点E.交BC于点M.则下列说法正确的有①AE=CF,②EC+CF=,③DE=DF,④若

2021-08-27 02:59:35作者:黑骡子网 阅读量:32

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,点D为AB的中点,若直角MDN绕点D旋转,分别交AC于点E,交BC于点M,则下列说法正确的有
①AE=CF;②EC+CF=数学公式;③DE=DF;④若△ECF的面积为一个定值,则EF的长也是一个定值.


  1. A.①②
  2. B.①③
  3. C.①②③
  4. D.①②③④

试卷题目答案

D
分析:①如果连接CD,可证△ADE≌△CDF,得出AE=CF;
②由①知,EC+CF=EC+AE=AC,而AC为等腰直角△ABC的直角边,由于斜边AB=8,由勾股定理可求出AC=BC=4
③由①知DE=DF;
④∵△ECF的面积=×CE×CF,如果这是一个定值,则CE•CF是一个定值,又EC+CF=,从而可唯一确定EC与EF的值,由勾股定理知EF的长也是一个定值.
解答:解:①连接CD.
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D为AB的中点,
∴CD⊥AB,CD=AD=DB,
在△ADE与△CDF中,∠A=DCF=45°,AD=CD,∠ADE=∠CDF,
∴△ADE≌△CDF,
∴AE=CF.说法正确;
②∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=8,
∴AC=BC=4
由①知AE=CF,
∴EC+CF=EC+AE=AC=4.说法正确;
③由①知△ADE≌△CDF,
∴DE=DF.说法正确;
④∵△ECF的面积=×CE×CF,如果这是一个定值,则CE•CF是一个定值,
又∵EC+CF=
∴可唯一确定EC与EF的值,
再由勾股定理知EF的长也是一个定值,说法正确.
故选D.
点评:本题综合考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定及方程的思想,有一定难度.
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