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四个人聚会.每人各带了2件礼品.分赠给其余三个人中的二人.试证明:至少有两对人.每对人是互赠过礼品的.

2021-09-10 02:21:19作者:黑骡子网 阅读量:32

四个人聚会,每人各带了2件礼品,分赠给其余三个人中的二人,试证明:至少有两对人,每对人是互赠过礼品的.

试卷题目答案

分析:要证明至少有两对人,每对人是互赠过礼品的,可以采用枚举法进行证明,即甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品,或有一个人接受了3件礼品,再用假设法进行论证即可.解答:解:设此四人为甲、乙、丙、丁并用画在平面上的四个点分别表示他们,称为它们的代表点,当某人(例如甲)赠了1件礼品给另一个(例如乙)时,就由甲向乙的代表点画一条有指向的线,无非有以下两个可能:
(1)甲、乙、丙、丁每人各收到了2件礼品.
(2)上面的情形不发生.这时只有以下一个可能,即有一个人接受了3件礼品
(即多于2件礼品;因为一人之外总共还有三个人,所以至多收到3件礼品).(或许会有人说,还有两个可能:有人只收到1件礼品及有人什么礼品也没收到.其实,这都可归以“有一人接受了3件礼品”这个情形.因为,当有一人(例如甲)只接受了1件礼品的情形发生时,四人共带来的8件礼品中还剩下7件在甲以外的三个人中分配,如果他们每人至多只收到2件礼品,则收受礼品数将不超过6件,这不可能,所以至少有一人收到2件以上(即3件)礼品,同样,当甲未收到礼品时,8件礼品分给乙、丙、丁三人,也必定有人收到3件礼品).
当(1)发生时,例如甲收到乙、丙的礼品,由于甲发出的礼品中至少有1件给了乙或丙,为确切计,设乙收到了甲的礼品,于是我们先有了一对人:(甲、乙),他们互赠了礼品,如果丙也收到甲的礼品,那么又有了第二对互赠了礼品的人(甲、丙);如果收到甲礼品的另一人是丁(如右图)丁的2件礼品必定分赠了乙及丙(甲已收足了本情形中限定的2件礼品)丙或乙的另一件礼品给了丁,则问题也解决(这时另一对互赠了礼品的人便是(乙、丁)或(丙、丁)但丙的另一件礼品只能给丁,因为这时乙已收足了2件礼品,所以,当本情形发生时,至少能找到两对互赠过1件礼品的人.
当(2)发生时,不失一般性,设甲收到了来自乙、丙、丁的各1件礼品,但甲又应向他们之中的某两人(例如乙、丙)各赠送1件礼品,于是(甲、乙),(甲、丙)便是要找的两对人.总上可知,证明完毕.
点评:逻辑推理的技巧:用假设法,即先假设所叙述情形不发生,再根据题目推断,如果推出矛盾则假设错误,反之假设正确.
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